导数 定理 极限
每日导数15
放缩与必要性探路(端点效应) 已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+(b-1)x+a\)在\(x=0\)处的切线与\(y\)轴垂直. 证明：\(\forall x\in[0,+\infty)\)，不等式\(2[e^xf(x)-\cos x]>\ln(1+x)\)恒成立，求实数\( ......
每日导数14
极值点偏移:对数均值不等式 已知\(a\in\mathbb{R}\),函数\(f(x)=\dfrac{a}{x}+\ln x,g(x)=ax-\ln x-2\).若\(f(x_1)=f(x_2)=2(x_1\neq x_2)\) (1)求出\(a\)的取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{x ......
金牌导航-Burnside引理与Polya定理
Burnside引理与Polya定理 例题A题解 Polya模板。 Polya定理给出，如果设有限集 \(D\) 的置换群为 \(G\)，\(C\) 是由全体用 \(m\) 种颜色为 \(D\) 中颜色染色的方案构成的集合，每个置换 \(\sigma\) 的循环总数是 \(c(\sigma)\)，那 ......
P5091 【模版】扩展欧拉定理
求 \(a^b \bmod m, b\le 10^{200000}\)。 首先引入三种可以通过取模缩小幂指数的方法。 费马小定理：当 \(a,p\in \mathbb{Z},\space p\) 为质数且 \(p\nmid a\) 时，\(a^{p-1}\equiv 1(\bmod\space p) ......
每日导数13
越复杂越简单，构造问题 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\)当\(a=2\)时，求\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若\(f(x)\leq\dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) \(a=2,f ......
连续、偏导数存在、可微、方向导数存在之间的关系
 =a\times T(n/b) + O(n^{ ......
每日导数12
一道常规的求参 已知函数\(f(x)=e^x-1\) \((1)\) 若\(g(x)=f(x)-ax\),讨论\(g(x)\)的单调性 \((2)\)当\(x>0\)时，都有\((x-k-1)f(x)+x+1>0\)成立，求整数\(k\)的最大值 解 \((1)\) \(g(x)=e^x-1-ax\ ......
Newton-Leibniz公式、可积的充分必要条件、积分中值定理、微积分基本定理
  =e^x\cos x\) \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间 \((2)\) \(F(x)=-f^{\prime}(x)-ax\)在\(\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)上有两个极值点，求实数\(a\)的取值范围. 解 \(( ......
相抵标准型定理与Cauchy-Binet公式
  为不全为 \(0\) 的整数，\(ax+by=c\) 有整数解当且仅当 \(\text{gcd}(a,b)|c\)。定理容易推广到多个整数的情况。 此题中，由裴蜀定理的推广得，\(\text{gcd}(A_1,A_2\cdots A_n)|S\)，取 \(S\) 为最小公约 ......
每日导数10
来个简单的 已知函数\(f(x)=2a\ln x-x+\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 若\(\forall x\in [1,+\infty),f(x)\leq 0\)，求\(a\)的取值范围. \((2)\)证明：\(\forall a\in (1,+\infty),\forall x ......
闭区间上连续函数的基本定理
 \)表示不超过\(n\)的与\(n\)互质的正整数个数 特别的：\(\varphi (1)=1\) 给出一些例子： \(\varphi (2)=1,\varphi (3)=2,\varphi (4)=2,\varphi (5)=4\) 不难得出若\( ......
每日导数9
指对分离：\(x\ln x,xe^x\)，下界大于上界 已知函数\(f(x)=\dfrac{ae^{x-1}}{x}+e(\ln x-x),a\in\mathbb{R}\) \((1)\)若\(f(x)\)在\((1.+\infty)\)上单调递增，求\(a\)的取值范围 \((2)\)当\(a\g ......
实数完备性基本定理
 =x\ln x-\dfrac{1}{2}ax^2-x(a\in\mathbb{R})\) \((1)\) 若函数\(f(x)\)在\(\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)上为增函数，求实数\(a\)的最大值； \((2)\ ......
Taylor定理
 ，函数\(f(x)=x^2e^{1-x}-a(x-1)\) \((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\(\left(\dfrac{3}{4},2\right)\)内的极值 \((2)\)设函数\(g(x)=f(x)+a ......
贡献法+经典背包+费马小定理
SDUT 校赛题目 Description 给定正整数 \(n\)，计算 \(n\) 个元素的集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\)，所有非空子集和的乘积取模 \(998 \, 244 \, 353\) 后的结果。 Input 一个正整数 \(n\) \((1\le n\le200)\)，代 ......
鞅与停时定理 例题记录
鞅与停时定理，一个很厉害的东西，感觉像是一种势能分析。 关于它具体是什么，笔者的数学水平还不足以讲述，所以在这里推广一下：概率论科技：鞅与停时定理 - littleZ_meow 的小窝。 下面的写法可能很不专业，请自行避雷。 给出一种很 OI 的解释：你需要设计一个函数 \(f(x)\)，有次能够得 ......
Matrix-Tree 定理
行列式求值 交换矩阵 \(A\) 两行，\(\det(A') = -\det(A)\) 。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后，\(\det(A') = k\times\det(A)\)。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后加到第 \(j\) 行上，\ ......
亲情的欧拉定理
欧拉定理指出 产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下， 假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。 白话版 如果总量不变的前提下 产出的产品正好足够分配给各个要素 增加了要素 每个要素就会减少 生产硬件不更新，本质不变化，分配不是无限的 亲情 人的的爱总量是有限的 小时候我们分配了给 ......
每日导数6
观察放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{e^x}\) \((1)\) 求函数\(f(x)\)在\((0,3)\)上的单调区间 \((2)\) 若\(x>0\)时，\(f(x)\leq a\ln (x+1)\)，求实数\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prim ......
每日导数5
找出相同结构 设函数\(f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-1-ax\). \((1)\) 若\(x\geq0\),\(f\left(x\right)\geq0\),求\(a\)的取值范围; \((2)\)若\(x>0\)且\(m\geq1\),证明：\(f\left(x\ri ......
微分中值定理
微分中值定理 一、罗尔定理 内容 如果函数 \(f(x)\) 满足： 在 \([a,b]\) 上连续； 在 \((a,b)\) 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\)。 那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\) 使得函数 \(f(x)\) ......
C++学习笔记八：极限和数学运算
1） <limits>库： 1.1 源文档： https://en.cppreference.com/w/cpp/types/numeric_limits #include <limits> 1.2 库函数： 函数解释： 对于一个浮点数，lowest表示最小的可表示的负数，min表示最小的可表示的接 ......