博弈论 囚徒 困境

在研究过 Nim 游戏及各种变种之后，Orez 又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的： 有 n 堆石子，将这 n 堆石子摆成一排。 游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。 Orez 问：对于 ......

博弈论是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。它主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一，在金融学、证券学、生物学、经济学、国际关系、计算机 ......

给定一个有 N 个节点的有向无环图，图中某些节点上有棋子，两名玩家交替移动棋子。 玩家每一步可将任意一颗棋子沿一条有向边移动到另一个点，无法移动者输掉游戏。 对于给定的图和棋子初始位置，双方都会采取最优的行动，询问先手必胜还是先手必败。 输入格式 第一行，三个整数N,M,K，N 表示图中节点总数，M ......

现在，有一个 nn 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。 两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。 已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。 问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。 ......

# 博弈论 ## 公平组合游戏 > 公平组合游戏（Impartial Game）的定义如下： $\bullet$ 游戏有两个人参与，二者轮流做出决策，双方均知道游戏的完整信息； $\bullet$ 任意一个游戏者在某一确定状态可以作出的决策集合只与当前的状态有关，而与游戏者无关； $\bullet$ ......

# Nim 游戏 ## 基础模型 例题：[CSES 1730](https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/CSES-1730) - 有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $a_i$ 颗，每个人一次可以从一堆里那任意个石子（至少拿一个），不能操作的人输掉。 - $1 ......

#前言 浅浅复习~~（我想说，国家队论文yyds😍）~~之前学的一点博弈论的皮毛，然后又上某谷练习了一下~~（切了几个水题，感觉全靠直觉/_ \）~~，我觉得我可以进一步学习博弈论的知识了（双击助力蒟蒻助力Alice薄纱Bob🌹） #树上删边游戏 ##问题描述： 给出一个有 N个点的树，有一个点 ......

# SG 函数与 SG 定理 ## 公平组合游戏 公平组合游戏满足以下条件： - 两个玩家参与游戏，轮流操作。 - 游戏以某个玩家不能操作未结束，且不能操作的玩家失败，游戏不含平局。 - 游戏的操作与玩家无关，只与当前的状态有关。 - 游戏状态不会重复出现，若将状态设为点，将一次操作对状态的改变设为 ......

# Nim游戏 #### 给定 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $A_i$ 个石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿),最后无法进行操作的人视为失败。 若两人均为巨佬，采用最优策略，先手是否必胜。 这种游戏被称作**Nim博弈**。游戏过程 ......

# 博弈论们： - ## Nim 博弈： 先手，后手：第一个，第二个行动者。 必胜，必败：指先手必胜或必败。 定理：Nim 博弈先手必胜，当且仅当：$$\bigoplus_{i=1}^nA_i\ne 0$$ 证明：反证法假设 $A_i'=A_i$ 得出矛盾。（懒，咕了，有机会再说） - ## SG ......

## 引入 OI 中的博弈论主要研究的是**公平组合游戏**。 #### 什么是公平组合游戏（$\text{Impartial Game}$）？ 1. 游戏有**两个人**参与，双方轮流作出决策，双方均知道完整的游戏信息。 2. 任意一个游戏者在某一确定状态可以作出的决策集合只与当前的状态有关，而与 ......

[toc] ## 概念 ### 1、平等组合游戏 + 两人游戏，两人轮流走步 + 有一个状态集，而且通常是有限的 + 有一个终止状态，到达终止状态后游戏结束 + 游戏可以在有限的步数内结束 + 规定好了哪些状态转移是合法的 + 所有规定对于两人是一样的 > 象棋围棋并不满足最后一个条件，因为双方可移 ......

应用: 问 2人依次走, 但是不能走到历史状态 看题意是否满足 二分图建图 性质 结论: 如果起始点, 必然在 最大匹配上, 那么先手必赢 不一定在最大匹配上, 那么先手必败 实现: 利用网络流, 先让 和 开始点的边权为0,跑一次 在恢复边权跑一次, 看ans 变大没有 ......

# Zero-sum game 属于非合作博弈，具体来说，是治所有博弈方的利益之和为0或一个常数，namely，有一方收入，必然有某方损失，因而，在零和博弈中，博弈各方不会合作。与之相对，非零和博弈为在不同策略组合下各博弈方的利益之和事不确定的变量，因此又称之为变和博弈，因此，如果存在战略使得各方的 ......

#### 二分图博弈 二分图博弈模型的描述为：在一张二分图上，给定一个起始点S，有两个玩家轮流操作，每轮玩家可以走到一个相邻的且之前没有走到过的点，不能移动的人输掉。 二分图博弈的结论为：如果起始点S一定属于二分图的最大匹配，则先手必胜，否则先手必败。 证明： 1.若S一定属于最大匹配，则先手只需要 ......

#前言 被Alice狠狠薄纱，Alice啊！我的Alice😭。于是开启博弈论的学习之路(❁´◡`❁)~~（主要是发现前几天刚学了一点现在就忘得差不多了🥀，故决定记录一下）~~ #博弈论 [博弈论](https://oi-wiki.org/math/game-theory/intro/)，是经济学 ......

昨晚在技术交流群中，大家聊起了这两年遇到的如裁员、求职、绩效等各种问题，感觉大家都挺焦虑的，当然最大的焦虑就是随时可能被裁员和裁员后求职的问题，简单来说，大家都没有安全感。 从去年公司裁员到现在，自由职业的我已经有一年没有按部就班打卡上班了。期间也面试了一些岗位，有首轮就挂的，也有顺利到谈薪阶段最后 ......

## 分类 #### 公平组合游戏 - 1.游戏有两个人参与，知道游戏的所有信息。 - 2.在游戏的任意时刻，游戏者可以做出的决策只与当前游戏的状态有关，与游戏者无关。 - 3.游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。 #### 非公平组合游戏 ......

# 博弈论基础 ## 一、四大博弈模型 ### 1、巴什博奕 **定义**：一堆n个物品，两个人轮流从中取出不多于m个，最后取光者胜，不能继续取的人输； **结论**：若n%(m+1)!=0，则先手必胜，反之先手必输 ### 2、尼姆博弈 **定义：**n堆物品，每堆物品的个数任意，两人轮流取，每次 ......

**一.公平组合游戏ICG：** 定义为: 1.有两名玩家交替行动 2.在游戏进行的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪位玩家无关 3.不能行动的玩家判负 **二.mex运算** 定义为: $mex(S) = min\{x\} (x \in N, x \notin S)$ 即为不属于集合$S$的最小 ......

## $\text{CF388C}$ ### 题意简述： 桌子上有 $n$ 堆牌。每张牌上都有一个正整数。Ciel可以从任何非空牌堆的顶部取出一张牌，Jiro可以从任何非空牌堆的底部取出一张牌。Ciel先取，当所有的牌堆都变空时游戏结束。他们都想最大化他所拿牌的分数（即每张牌上正整数的和）。问他们所 ......

###纯博弈： 单纯的动机组合，离散的集合 ###混合博弈： 加入了概率论，以百分比的概率执行不同的的动机。，概率分布 零和博弈、合作博弈、协同博弈 ###扩展博弈和非完美信息 ###扩展博弈、贝叶斯博弈 ###纳什均衡 任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略（其他玩家策略不变）都不会提高自 ......

###序列决策  **序列决策问题一般用马尔可夫决策模型进行描述** ![](https://img2023.cnb ......

# 简单博弈论 ## Nim游戏 Nim游戏满足以下三个条件: (1)两名玩家交替行动 (2)游戏过程中，可以执行的的行动和轮到哪位玩家没有关系 (3)不能行动的玩家判负 比如围棋就不是一种Nim游戏，因为围棋有黑白两子不满足(2)，围棋判断输赢规则较为复杂不符合(3)。下面的取石子游戏就是一个Ni ......

在黑客安全圈子中，基于内存攻击技术的攻击手段在随着时代的变化而不断发展着，内存攻击是指通过利用软件的安全漏洞，构造恶意的输入，从而使正常程序造成拒绝服务或者是远程获得控制权，内存攻击技术中最先登上历史舞台的就是缓冲区溢出漏洞，时至今日能够被广泛利用的并具有较大破坏性的高危漏洞（CVE）几乎都属于缓冲... ......

[D - ABS](https://atcoder.jp/contests/abc078/tasks/arc085_b) ``` // https://atcoder.jp/contests/abc078/tasks/arc085_b // // 思路: // 首先注意到两点: // 1. a[n] ......

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